Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]

Задача 110005 (#99.4.10.5)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Садыков Р., Черепанов Е.

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108243 (#99.4.10.6)

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Евдокимов М.А.

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C₁, D – точка пересечения прямых B₁C₁ и A₁K. Докажите, что CD = CB₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110007 (#99.4.10.7)

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Необычные конструкции	]
	[	Парадоксы	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

Каждый голосующий на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии n кандидатов. На избирательном участке находится n+1 урна. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит по крайней мере один бюллетень и при всяком выборе (n+1) -го бюллетеня по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

Прислать комментарий Решение

Задача 110008 (#99.4.10.8)

Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Системы точек	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Некоторые натуральные числа отмечены. Известно, что на каждом отрезке числовой прямой длины 1999 есть отмеченное число.
Докажите, что найдётся пара отмеченных чисел, одно из которых делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109997 (#99.4.11.1)

Темы:	[	Непрерывные функции (общие свойства)	]
Темы:	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]