Этапы:
-
Региональный этап
(27 задач)
Заключительный этап
(21 задача)
Фильтр
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Решение
В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный. Решение
Докажите, что из точки A, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.
Решение
В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное k , для которого можно выбрать k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв. Решение
Убрать все задачи
На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?
РешениеБиссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O.
Докажите, что если OD = OE, то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине A равен 60°.
РешениеВ треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.
РешениеДокажите, что из точки A, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.
РешениеВ языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное k , для которого можно выбрать k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв.
Решение
Задачи
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
Набор пятизначных чисел {N1 , Nk} таков, что любое
пятизначное число, все цифры которого идут в неубывающем порядке, совпадает хотя бы в
одном разряде хотя бы с одним их чисел N1 , Nk .
Найдите наименьшее возможное значение k .
Окружности σ 1 и σ 2 пересекаются в точках A и
B . В точке A к σ 1 и σ 2 проведены
соответственно касательные l1 и l2 .
Точки T1 и T2 выбраны соответственно на окружностях σ 1 и σ 2
так, что угловые меры дуг T1A и AT2 равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке).
Касательная t1 в точке T1 к окружности σ 1 пересекает l2 в точке M1 .
Аналогично, касательная t2 в точке T2 к окружности
σ 2 пересекает l1 в точке M2 .
Докажите, что середины отрезков M1M2 находятся на одной прямой,
не зависящей от положения точек T1 , T2 .
Даны натуральные числа p<k<n . На бесконечной клетчатой плоскости отмечены
некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике (k+1)×n ( n клеток
по горизонтали, k+1 – по вертикали) отмечено ровно p клеток. Докажите, что
существует прямоугольник k×(n+1) (где n+1 клетка по горизонтали, k – по
вертикали), в котором отмечено не менее p+1 клетки.
В языке жителей Банановой Республики количество слов превышает количество букв в
их алфавите. Докажите, что найдется такое натуральное k , для которого можно выбрать
k различных слов, в записи которых используется ровно k различных букв.
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
Задача 110155 (#04.4.10.5) |
|
|
Уравнение xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа an–1 и an взаимно просты.
|
|
Решение |
Задача 110156 (#04.4.10.6) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110157 (#04.4.10.7) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110158 (#04.4.10.8) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110147 (#04.4.11.1) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
