Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 115411 (#06.4.10.8)

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Канель-Белов А.Я.

Даны натуральные числа x и y из отрезка [2, 100]. Докажите, что при некотором натуральном n число x^2ⁿ + y^2ⁿ – составное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115396 (#06.4.11.1)

Темы:	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Обход графов	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Планарные графы. Формула Эйлера	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115397 (#06.4.11.2)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Последовательность a₁,a₂,.. такова, что a₁(1,2) и a_k+1=a_k+ при любом натуральном k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.

Прислать комментарий Решение

Задача 115398 (#06.4.11.3)

Темы:	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

В треугольной пирамиде ABCD все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках ABC , ABD , ACD лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер AB , AC , AD .

Прислать комментарий Решение

Задача 115399 (#06.4.11.4)

Темы:	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (x,y) такие, что x²+y² 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]