Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 115512 (#2010.11.3)

Темы:	[	Выпуклость и вогнутость (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Косухин О.Н.

Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы
y = xⁿ + px + q, z = yⁿ + py + q, x = zⁿ + pz + q,
то выполнено неравенство x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y.
Рассмотрите случаи а) n = 2; б) n = 2010.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115513 (#2010.11.4)

Темы:	[	Линейные зависимости векторов	]
Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Сергеев И.Н.

Функция f каждому вектору v (с общим началом в точке O) пространства ставит в соответствие число f(v), причём для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение f(αu + βv) не превосходит хотя бы одного из чисел f(u) или f(v). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115514 (#2010.11.5)

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Филимонов В.П.

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P, что ∠PBA = ∠PCD = 90°. Точка M – середина стороны AD, причём BM = CM.
Докажите, что ∠PAB = ∠PDC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115515 (#2010.11.6)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Правило произведения	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Лобанов М. С., Ушаков В. Г.

Команда из n школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из k заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить:
а) при n = k = 2;
б) при произвольных фиксированных n и k?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]