Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральное число n таково, что числа  2n + 1  и  3n + 1  являются квадратами. Может ли при этом число  5n + 3  быть простым?

   Решение

---

Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60^o . Докажите, что AC+BD1 .

   Решение

---

Имеется 200 гирек массами 1, 2, ..., 200 грамм. Их разложили на две чаши весов по 100 гирек на каждую, и весы оказались в равновесии. На каждой гирьке записали, сколько гирек на противоположной чаше легче неё. Докажите, что сумма чисел, записанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, записанных на гирьках правой чаши.

   Решение

---

Hа плоскости даны две окружности C₁ и C₂ с центрами O₁ и O₂ и радиусами 2R и R соответственно (O₁O₂ > 3R). Hайдите геометрическое место центров тяжести треугольников, у которых одна вершина лежит на C₁, а две другие — на C₂.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116202  (#1)

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Построения (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Дан произвольный треугольник ABC. Постройте прямую, разбивающую его на два многоугольника, у которых равны радиусы описанных окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116203  (#2)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Шесть отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Bерно ли, что из этих отрезков можно составить тетраэдр?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116204  (#3)

Темы:   [ Векторы помогают решить задачу ] [ ГМТ (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Hа плоскости даны две окружности C₁ и C₂ с центрами O₁ и O₂ и радиусами 2R и R соответственно (O₁O₂ > 3R). Hайдите геометрическое место центров тяжести треугольников, у которых одна вершина лежит на C₁, а две другие — на C₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116205  (#4)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Kасательные к окружности в точках A и C и прямая, симметричная BD относительно точки O, пересекаются в одной точке. Докажите, что произведения расстояний от O до противоположных сторон четырёхугольника равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116206  (#5)

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Соображения непрерывности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями