Докажите, что число разложений натурального числа n в сумму различных натуральных слагаемых равно числу разложений числа n в сумму нечетных (возможно, повторяющихся) натуральных слагаемых.

   Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 810]      

За круглым столом сидят несколько гостей. Некоторые из них знакомы между собой; знакомство взаимно. Все знакомые любого гостя (считая его самого) сидят вокруг стола через равные промежутки. (Для другого человека эти промежутки могут быть другими.) Известно, что любые двое имеют хотя бы одного общего знакомого. Докажите, что все гости знакомы друг с другом.

Прислать комментарий

Решение

По окружности, сделанной из проволоки, двигаются бусинки с одинаковой угловой скоростью, некоторые - по часовой стрелке, некоторые - против. При столкновении две бусинки разлетаются в разные стороны с прежними скоростями. Докажите, что в некоторый момент начальное расположение бусинок повторится.

Прислать комментарий

Решение

В квадрате 2000*2000 расставлены числа так, что в любом квадрате 2*2 сумма левого верхнего числа и правого нижнего числа равна сумме левого нижнего числа и правого верхнего числа. Докажите, что сумма чисел, стоящих в левом верхнем и правом нижнем углах квадрата 2000*2000, равна сумме чисел, стоящих в двух других углах.

Прислать комментарий

Решение

Назовем крокодилом шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на m клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на n клеток в перпендикулярном направлении. Докажите что для любых m и n можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в 2 цвета (для каждых конкретных m и n своя раскраска), что всегда 2 клетки, соединенные одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что число разложений натурального числа n в сумму различных натуральных слагаемых равно числу разложений числа n в сумму нечетных (возможно, повторяющихся) натуральных слагаемых.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 810]