По кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася – модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя – модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что каждое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что каждое Толино число не меньше любого Васиного.

   Решение

На сторонах AC и BC треугольника ABC внешним образом построены квадраты ACA₁A₂ и BCB₁B₂. Докажите, что прямые  A₁B, A₂B₂ и AB₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

Ненулевые числа a и b таковы, что уравнение  a(x – a)² + b(x – b)² = 0  имеет единственное решение. Докажите, что  |a| = |b|.

   Решение

Ньют хочет перевезти девять фантастических тварей весом 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 кг в трёх чемоданах, по три твари в каждом. Каждый чемодан должен весить меньше 20 кг. Если вес какой-нибудь твари будет делиться на вес другой твари из того же чемодана, они подерутся. Как Ньюту распределить тварей по чемоданам, чтобы никто не подрался?

   Решение

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O₁ и O₂ соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.

   Решение

Точки A₁, B₁, C₁ движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A₁, B₁, C₁ к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники ABC', AB'C и A'BC, причем сумма углов при вершинах A', B' и C' кратна  180^o. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в одной точке.
б) Точки A₁, B₁ и C₁ перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)

Прислать комментарий

Решение

Точки A₁, B₁, C₁ движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A₁, B₁, C₁ к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если треугольники A₁B₁C₁ и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]