ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
Главы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Даны четыре окружности  S1, S2, S3 и S4, причем окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

Вниз   Решение

а) Три окружности с центрами A, B, C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рис. Пусть a, b и c — радиусы окружностей с центрами A, B, C. Докажите, что  1/$ \sqrt{c}$ = 1/$ \sqrt{a}$ + 1/$ \sqrt{b}$.
б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть a, b, c, d — их радиусы,  $ \alpha$ = 1/a,$ \beta$ = 1/b,$ \gamma$ = 1/c и  $ \delta$ = 1/d. Докажите, что 2($ \alpha^{2}_{}$ + $ \beta^{2}_{}$ + $ \gamma^{2}_{}$ + $ \delta^{2}$) = ($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ + $ \delta$)2.


Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 1956]      

  с решениями  

Задача 56679  (#03.022)

Тема:   [ Касающиеся окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8

Даны четыре окружности  S1, S2, S3 и S4, причем окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56680  (#03.023)

Тема:   [ Касающиеся окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8

а) Три окружности с центрами A, B, C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рис. Пусть a, b и c — радиусы окружностей с центрами A, B, C. Докажите, что  1/$ \sqrt{c}$ = 1/$ \sqrt{a}$ + 1/$ \sqrt{b}$.
б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть a, b, c, d — их радиусы,  $ \alpha$ = 1/a,$ \beta$ = 1/b,$ \gamma$ = 1/c и  $ \delta$ = 1/d. Докажите, что 2($ \alpha^{2}_{}$ + $ \beta^{2}_{}$ + $ \gamma^{2}_{}$ + $ \delta^{2}$) = ($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ + $ \delta$)2.


Прислать комментарий     Решение

Задача 56681  (#03.024)

Темы:   [ Три окружности одного радиуса ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Удвоение медианы ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Три окружности радиуса R проходят через точку H; A, B и C — точки их попарного пересечения, отличные от H. Докажите, что:
а) H — точка пересечения высот треугольника ABC;
б) радиус описанной окружности треугольника ABC тоже равен R.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56682  (#03.025)

Тема:   [ Три окружности одного радиуса ]
Сложность: 5
Классы: 8

Три равные окружности пересекаются так, как показано на рис., а или б. Докажите, что  $ \smile$ AB1 + $ \smile$ BC1± $ \smile$ CA1 = 180o, где знак минус берется в случае б.



Прислать комментарий     Решение

Задача 56683  (#03.026)

Тема:   [ Три окружности одного радиуса ]
Сложность: 5
Классы: 8

Три окружности одного радиуса проходят через точку P; A, B и Q — точки их попарного пересечения. Четвертая окружность того же радиуса проходит через точку Q и пересекается с двумя другими в точках C и D. При этом треугольники ABQ и CDP остроугольные, а четырехугольник ABCD выпуклый (рис.). Докажите, что ABCD — параллелограмм.


Прислать комментарий     Решение

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 1956]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .