Версия для печати
Убрать все задачи

---

12 полей расположены по кругу: на четырёх соседних полях стоят четыре разноцветных фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя. Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как они могут при этом переставиться?

   Решение

---

Даны уравнения  ax² + bx + c = 0   (1)    и – ax² + bx + c   (2).     Доказать, что если x₁ и x₂ – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень x₃ уравнения  ½ ax² + bx + c,  что либо  x₁ ≤ x₃ ≤ x₂,  либо  x₁ ≥ x₃ ≥ x₂.

   Решение

---

Площадь треугольника ABC равна 1. Пусть A₁, B₁, C₁ — середины сторон BC, CA, AB соответственно. На отрезках AB₁, CA₁, BC₁ взяты точки K, L, M соответственно. Чему равна минимальная площадь общей части треугольников KLM и A₁B₁C₁?

   Решение

---

Из двухсот чисел: 1, 2, 3, ..., 199, 200 выбрали одно число, меньшее 16, и ещё 99 чисел.
Докажите, что среди выбранных чисел найдeтся два таких, одно из которых делится на другое.

   Решение

---

Некоторые из 20 металлических кубиков, одинаковых по размерам и внешнему виду, алюминиевые, остальные (Предполагается, что все кубики могут быть алюминиевыми, но они не могут быть все дюралевыми (если все кубики окажутся одного веса, то нельзя выяснить, алюминиевые они или дюралевые) — прим. ред.) дюралевые (более тяжёлые). Как при помощи 11 взвешиваний на весах с 2-мя чашечками без гирь определить число дюралевых кубиков?

   Решение

---

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56786

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что  MN² = (ab + c²)/2, где c = CD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56787

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56790

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Периметр треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56788

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь трапеции ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем  1 + .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56789

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Соображения непрерывности ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями