Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 1956]

Задача 56887 (#05.051)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56888 (#05.052)

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABC₁D₁ и A₂BCD₂.
Докажите, что точка пересечения прямых AD₂ и CD₁ лежит на высоте BH.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56889 (#05.053)

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Тангенсы и котангенсы углов треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A₁, B₁ и C₁. Пусть a₁, b₁ и c₁ – длины сторон треугольника A₁B₁C₁, S и S₁ – площади треугольников ABC и A₁B₁C₁. Докажите, что:
а)
б) S₁ – S = ¹/₈ (a² + b² + c²).

Прислать комментарий

Решение

Задача 56890 (#05.054)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C₁, A₁ и B₁ так, что ∠(CC₁, AB) = ∠(AA₁, BC) = ∠(BB₁, CA) = α. Прямые AA₁ и BB₁, BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁ пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен 2 cos α.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56891 (#05.054.1)

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 1956]