Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 1255]

Задача 60722 (#04.096)

[Теорема Клемента]

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что числа p и p + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда 4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

Прислать комментарий

Решение

Задача 78190 (#04.097)

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Леонтович А.М.

Дано n чисел, x₁, x₂, ..., x_n, при этом x_k = ±1. Доказать, что если x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0, то n делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60724 (#04.098)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в целых числах:
а) x² + y² = 2003;
б) 12x + 5 = y²;
в) – x² + 7y³ + 6 = 0;
г) x² + y² + z² = 1999;
д) 15x² – 7y² = 9;
е) x² – 5y + 3 = 0;
ж)
з) 8x³ – 13y³ = 17.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30397 (#04.099)

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60726 (#04.100)

[Гармонические числа]

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что числа H_n = 1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ... + ¹/_n при n > 1 не будут целыми.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 1255]