Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]

Задача 60739 (#04.113)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что для любого натурального числа найдётся кратное ему число, десятичная запись которого состоит только из 0 и 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60740 (#04.114)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором a^k ≡ 1 (mod p). Докажите, что p – 1 делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60741 (#04.115)

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение a^p ≡ a (mod p).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60742 (#04.116)

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Известно, что a¹² + b¹² + c¹² + d¹² + e¹² + f¹² делится на 13 (a, b, c, d, e, f – целые числа). Докажите, что abcdef делится на 13⁶.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60743 (#04.117)

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Комбинаторика орбит	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

p – простое число. Сколько существует способов раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? (Раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]