Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 1255]

Задача 60737 (#04.111)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число, p ≠ 2, 5. Докажите, что существует число вида 1...1, кратное p.
Придумайте два решения задачи: одно, использующее теорему Ферма (задача 60736), и второе – принцип Дирихле.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60738 (#04.112)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Малая теорема Ферма	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Для каких n число n²⁰⁰¹ – n⁴ делится на 11?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60739 (#04.113)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что для любого натурального числа найдётся кратное ему число, десятичная запись которого состоит только из 0 и 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60740 (#04.114)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором a^k ≡ 1 (mod p). Докажите, что p – 1 делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60741 (#04.115)

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение a^p ≡ a (mod p).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 1255]