ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором  ak ≡ 1 (mod p).  Докажите, что  p – 1  делится на k.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      



Задача 60739  (#04.113)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что для любого натурального числа найдётся кратное ему число, десятичная запись которого состоит только из 0 и 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60740  (#04.114)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором  ak ≡ 1 (mod p).  Докажите, что  p – 1  делится на k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60741  (#04.115)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение  ap ≡ a (mod p).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60742  (#04.116)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Известно, что  a12 + b12 + c12 + d12 + e12 + f12  делится на 13 (a, b, c, d, e, f – целые числа). Докажите, что abcdef делится на 136.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60743  (#04.117)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ]
[ Комбинаторика орбит ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

p – простое число. Сколько существует способов раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? (Раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .