Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Прямые AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

---

Пусть числа x₁, x₂, ..., x_r образуют приведённую систему вычетов по модулю m.
Для каких a и b числа  y_j = ax_j + b  (j = 1, ..., r)  также образуют приведённую систему вычетов по модулю m?

   Решение

---

Пусть  (m, n) = 1,  а числа x и y пробегают приведённые системы вычетов по модулям m и n соответственно. Докажите, что число  A = xn + ym  пробегает при этом приведённую систему вычетов по модулю mn. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера (см. задачу 60760).

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60759  (#04.133)

Тема:   [ Функция Эйлера ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Чему равна сумма  φ(1) + φ(p) + φ(p²) + ... + φ(p^α),  где α #8211; некоторое натуральное число?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60760  (#04.134)

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Функция Эйлера  φ(n)  определяется как количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n.
Основным свойством функции Эйлера является её мультипликативность.
Для взаимно простых a и b рассмотрим таблицу

В каких столбцах этой таблицы находятся числа взаимно простые с числом b?
Сколько в каждом из этих столбцов чисел взаимно простых с a?
Докажите мультипликативность функции Эйлера, ответив на эти вопросы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60761  (#04.135)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Функция Эйлера ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Сколько классов составляют приведённую систему вычетов по модулю m?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60762  (#04.136)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть числа x₁, x₂, ..., x_r образуют приведённую систему вычетов по модулю m.
Для каких a и b числа  y_j = ax_j + b  (j = 1, ..., r)  также образуют приведённую систему вычетов по модулю m?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60763  (#04.137)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Функция Эйлера ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть  (m, n) = 1,  а числа x и y пробегают приведённые системы вычетов по модулям m и n соответственно. Докажите, что число  A = xn + ym  пробегает при этом приведённую систему вычетов по модулю mn. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера (см. задачу 60760).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями