Страница:
<< 195 196 197 198
199 200 201 >> [Всего задач: 1255]
Задача
61273
(#09.022)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p, q), для которых все корни уравнения x³ + px + q = 0 не превосходят по модулю 1.
Задача
61274
(#09.023)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет три различных корня, принадлежащих интервалу (–2, 4).
Задача
61275
(#09.024)
[Метод Виета]
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Когда 4p³ + 27q² < 0, уравнение x³ + px + q = 0 имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
а) Докажите, что при p < 0 уравнение x³ + px + q = 0 заменой x = kt сводится к уравнению 4t³ – 3t – r = 0 (*) от переменной t.
б) Докажите, что при 4p³ + 27q² ≤ 0 решениями уравнения (*) будут числа t1 = cos
, t2 = cos
, t3 = cos
, где φ = arccos r.
Задача
61276
(#09.025)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Решите уравнения
а) x³ – 3x – 1 = 0;
б) x³ – 3x – 
= 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.
Задача
61277
(#09.026)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что если корни многочлена f(x) = x³ + ax² + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.
Страница:
<< 195 196 197 198
199 200 201 >> [Всего задач: 1255]
Фильтр
Решение 
