Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская устная олимпиада по геометрии
>>
11 (2013 год)
>>
10-11 класс
Фильтр
Выбрано 2 задачи Убрать все задачи
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что OR⊥TC, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
РешениеНа сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM, CBP, CDL и ADK (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что PK = ML.
Решение
Задачи
Задача 64338 (#1) |
|
|
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке M на стороне AD. Докажите, что точка O – центр вписанной окружности треугольника BMC.
|
|
Решение |
Задача 64339 (#2) |
|
|
Внутри угла AOD проведены лучи OB и OC, причём ∠AOB = ∠COD. В углы AOB и COD вписаны непересекающиеся окружности.
Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла AOD.
|
|
|
Решение |
Задача 64340 (#3) |
|
|
Существует ли многогранник, у которого отношение площадей любых двух граней не меньше 2?
|
|
|
Решение |
Задача 64341 (#4) |
|
|
На сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM, CBP, CDL и ADK (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что PK = ML.
|
|
|
Решение |
Задача 64342 (#5) |
|
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что OR⊥TC, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
