Версия для печати
Убрать все задачи

---

Треугольник ABC  (AB > BC)  вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что  AM = CN.  Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.

   Решение

---

К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64769  (#10.1)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Назовём натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа.
Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64770  (#10.2)

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ] [ Доказательство от противного ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что  x > y,  верно неравенство  (f(x))² ≤ f(y).  Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке  [0,1].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64771  (#10.3)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В сейфе n ячеек с номерами от 1 до n. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в i-й ячейке оказалась карточка с числом a_i. Петя может менять местами любые две карточки с номерами x и y, платя за это  2|x – y|  рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более  |a₁ – 1| + |a₂ – 2| + ... + |a_n – n|  рублей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64772  (#10.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Точка Микеля ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Треугольник ABC  (AB > BC)  вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что  AM = CN.  Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64765  (#10.5)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями