Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65376  (#10.1)

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Пусть K – точка на стороне BC треугольника ABC, KN – биссектриса треугольника AKC. Прямые BN и AK пересекаются в точке F, а прямые CF и AB – в точке D. Докажите, что KD – биссектриса треугольника AKB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65377  (#10.2)

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что всякий треугольник площади 1 можно накрыть равнобедренным треугольником площади менее  .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65378  (#10.3)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65379  (#10.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Средняя линия треугольника ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁ и отмечены точки A₂, B₂, C₂, в которых вневписанные окружности касаются сторон BC, CA, AB соответственно. Прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника. Докажите, что точка A₁ лежит на описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65380  (#10.5)

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями