Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65366  (#8.7)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На стороне AB четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что четырёхугольники AMCD и BMDC описаны около окружностей с центрами O₁ и O₂ соответственно. Прямая O₁O₂ отсекает от угла CMD равнобедренный треугольник с вершиной M. Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65367  (#8.8)

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На сторонах AB, AC треугольника ABC взяли такие точки C₁, B₁ соответственно, что  BB₁ ⊥ CC₁.  Точка X внутри треугольника такова, что
∠XBC = ∠B₁BA,  ∠XCB = ∠C₁CA.  Докажите, что  ∠B₁XC₁ = 90° – ∠A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65369  (#9.1)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65368  (#9.2)

Темы:   [ Метод ГМТ ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Точка Микеля ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65370  (#9.3)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Теорема косинусов ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями