классы:
-
8 класс
(6 задач)
9 класс
(6 задач)
10 класс
(6 задач)
11 класс. Первый день
(6 задач)
11 класс. Второй день
(5 задач)
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Решение
Убрать все задачи
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Перпендикуляр,
опущенный из точки A на сторону CD, проходит через середину
диагонали BD, а перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону
AB, проходит через середину диагонали AC. Докажите, что трапеция
равнобокая.
К Ивану на день рождения пришли $3 n$ гостей.
У Ивана есть $3 n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа.
Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так,
чтобы длина каждого хоровода делилась на $3$, а при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ...АБВ.
Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)
На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями
получаются квадраты $100\times100$ и $1\times1$?
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены
точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а
их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая
ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же
он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к
$b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что
независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент
окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
Задача 66554 (#5) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66560 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66566 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66572 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66578 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]
