Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 67018

Тема:

[

Десятичная система счисления

]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Толпыго А.К.

У каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n,\ldots,9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?

Прислать комментарий Решение

Задача 67019

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

Прямоугольники $ABCD$ и $DEFG$ расположены так, что точка $D$ лежит на отрезке $BF$, а точки $B$, $C$, $E$, $F$ лежат на одной окружности (см. рисунок). Докажите, что $\angle ACE = \angle CEG$.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67020

Темы:	[	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Галочкин А.И.

Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число $t>1$ (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в $t$ раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет $100$ предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в $t$ раз, не меняя количества монет, то у него будет $101$ предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Прислать комментарий Решение

Задача 67021

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Френкин Б.Р.

Некоторые клетки доски $100 \times 100$ покрашены в чёрный цвет. Во всех строках и столбцах, где есть чёрные клетки, их количество нечётно. В каждой строке, где есть чёрные клетки, поставим красную фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. В каждом столбце, где есть чёрные клетки, поставим синюю фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. Оказалось, что все красные фишки стоят в разных столбцах, а синие фишки — в разных строках. Докажите, что найдётся клетка, в которой стоят и синяя, и красная фишки.

Прислать комментарий Решение

Задача 67022

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кушнир А.Ю.

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны.
Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]