Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XVIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2022 г.)
классы:
-
Заочный тур
(24 задачи)
8 класс
(8 задач)
9 класс
(8 задач)
10 класс
(8 задач)
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.
Решение
Убрать все задачи
Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что $BH$ – биссектриса угла $ABO$. Отрезок из точки $O$, параллельный стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AH=AK$.
Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности с центром $I$. Точки $O_1$ и $O_2$ – центры описанных окружностей треугольников $AID$ и $CID$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $O_1IO_2$ лежит на биссектрисе угла $B$ четырехугольника.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. На отрезках $AD$ и $CD$ построены равносторонние треугольники $AED$ и $CFD$, так что точка $E$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и $C$, а точка $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $CD$, что и $B$. Прямая $EF$ пересекает катет $AC$ в точке $L$. Докажите, что $FL=CL+LD$.
Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_2$ – точка касания вписанной окружности треугольника $AB_1C_1$ со стороной $B_1C_1$; аналогично определяются точки $B_2$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.
Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Задача 67086 (#1 [8 кл]) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67087 (#2 [8 кл]) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67088 (#3 [8 кл]) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67089 (#4 [8 кл]) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67090 (#5 [8 кл]) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
