Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 67121 (#9.4)

Темы:	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Яковлев Б.

Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AB=AC$, $P$ – середина меньшей дуги $AB$ окружности $ABC$, $Q$ – середина отрезка $AC$. Окружность с центром в $O$, описанная около $APQ$, вторично пересекает $AB$ в точке $K$. Докажите, что прямые $PO$ и $KQ$ пересекаются на биссектрисе угла $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67122 (#9.5)

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$, причем $AD = AE = EB$. На отрезке $CE$ отметили точку $F$, так что $ED = CF$. Биссектриса угла $AFC$ пересекает дугу $DAC$ в точке $P$. Докажите, что точки $A$, $E$, $F$ и $P$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67123 (#9.6)

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бродский Д.Ю.

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD > BC$) пересекаются в точке $P$. На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$, что $BQ=CQ$. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$, перпендикулярна прямой $PQ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67124 (#9.7)

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Неопределено	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кухарчук И.

Пусть высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Окружность, описанная около треугольника $AHC$, пересекает отрезки $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает $AC$ в $R$. На прямой $PH$ взята точка $K$ такая, что $\angle KAC = 90^{\circ}$. Докажите, что прямая $KR$ перпендикулярна одной из медиан треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67125 (#9.8)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Стереографическая проекция	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Нилов Ф.

На плоскости провели несколько окружностей и отметили все точки их пересечения или касания. Может ли оказаться, что на каждой окружности лежат ровно пять отмеченных точек, а через каждую отмеченную точку проходят ровно пять окружностей?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]