Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 469]

Задача 73546 (#М11)

Темы:	[	Инварианты	]
Темы:	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один – по часовой стрелке, другой – против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.
б) А если чижей и деревьев n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 58238 (#М12)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73548 (#М13)

Темы:	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Если разность между наибольшим и наименьшим из n данных вещественных чисел равна d, а сумма модулей всех n(n – 1)/2 попарных разностей этих чисел равна s, то

(n – 1)d £ s £ n²d/4.

Докажите это.

Прислать комментарий Решение

Задача 73549 (#М14)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Описанные многогранники	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Касательные к сферам	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если а) чёрных граней больше половины; б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

Прислать комментарий Решение

Задача 73550 (#М15)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Теория графов (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Квадратная таблица размером n×n заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел каждой строки, так и сумма чисел каждого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 469]