Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]

Задача 73755 (#М220)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Внутренность и внешность. Лемма Жордана	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Климов А.В.

Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 79254 (#М221)

Темы:	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Экстремальные свойства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Блох А.

На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили полученные два числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?

Прислать комментарий Решение

Задача 79248 (#М222)

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Наглядная геометрия в пространстве	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Грюнталь А.

Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 73758 (#М223)

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Макаричев А.

Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79264 (#М224)

Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Скалярное произведение	]
	[	Трехгранные и многогранные углы (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Готман Э.Г.

У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]