ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.

   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 77983  (#1)

Темы:   [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

a, b, c и d — длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через S его площадь. Доказать, что

S$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(a + b)(c + d ).

Прислать комментарий     Решение

Задача 77984  (#2)

Тема:   [ Признаки делимости (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.

Прислать комментарий     Решение

Задача 77985  (#3)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Многоугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9

На окружности даны точки A1, A2,..., A16. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A1, A2,..., A16. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A1 является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A1 в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

Прислать комментарий     Решение

Задача 77986  (#4)

Тема:   [ Четность и нечетность ]
Сложность: 3-
Классы: 9

В плоскости расположено n зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе – с третьим и т.д. Наконец, последнее колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?

Прислать комментарий     Решение

Задача 77987  (#5)

Тема:   [ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 3-
Классы: 9

Решить систему
   x1 + 2x2 + 2x3 + ... + 2x100 = 1,
   x1 + 3x2 + 4x3 + ... + 4x100 = 2,
   x1 + 3x2 + 5x3 + ... + 6x100 = 3,
    ...
   x1 + 3x2 + 5x3 + ... + 199x100 = 100.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .