ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют условиям  
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78016  (#1)

Тема:   [ Окружность Ферма-Аполлония ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

На двух лучах l1 и l2, исходящих из точки O, отложены отрезки OA1 и OB1 на луче l1 и OA2 и OB2 на луче l2; при этом $ {\frac{OA_1}{OA_2}}$$ \ne$$ {\frac{OB_1}{OB_2}}$. Определить геометрическое место точек S пересечения прямых A1A2 и B1B2 при вращении луча l2 около точки O (луч l1 неподвижен).
Прислать комментарий     Решение


Задача 78017  (#2)

Темы:   [ Геометрические неравенства ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Даны четыре прямые m1, m2, m3, m4, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A1 прямой m1 проводим прямую, параллельную прямой m4, до пересечения с прямой m2 в точке A2, через A2 проводим прямую, параллельную m1, до пересечения с m3 в точке A3, через A3 проводим прямую, параллельную m2, до пересечения с m4 в точке A4 и через точку A4 проводим прямую, параллельную m3, до пересечения с m1 в точке B. Доказать, что OB$ \le$$ {\frac{OA_1}{4}}$ (см. рис.).
Прислать комментарий     Решение


Задача 78018  (#3)

Тема:   [ Системы алгебраических неравенств ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют условиям  
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78019  (#4)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Обратный ход ]
[ Последовательности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Если дан ряд из 15 чисел

a1, a2,..., a15, (1)

то можно написать второй ряд

b1, b2,..., b15, (2)

где bi(i = 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших ai. Существует ли ряд чисел ai, если дан ряд чисел bi:

1, 0, 3, 6, 9, 4, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 10, 13, 13?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78020  (#5)

Темы:   [ Деревья ]
[ Деление с остатком ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Дан отрезок OA. Из конца отрезка A выходит 5 отрезков AB1, AB2, AB3, AB4, AB5. Из каждой точки Bi могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки O).

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .