ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют условиям  
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78021  (#1)

Темы:   [ Симметрия относительно плоскости ]
[ Тетраэдр и пирамида ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Сколько плоскостей симметрии может иметь треугольная пирамида?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78017  (#2)

Темы:   [ Геометрические неравенства ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Даны четыре прямые m1, m2, m3, m4, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A1 прямой m1 проводим прямую, параллельную прямой m4, до пересечения с прямой m2 в точке A2, через A2 проводим прямую, параллельную m1, до пересечения с m3 в точке A3, через A3 проводим прямую, параллельную m2, до пересечения с m4 в точке A4 и через точку A4 проводим прямую, параллельную m3, до пересечения с m1 в точке B. Доказать, что OB$ \le$$ {\frac{OA_1}{4}}$ (см. рис.).
Прислать комментарий     Решение


Задача 78018  (#3)

Тема:   [ Системы алгебраических неравенств ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют условиям  
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78022  (#4)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Средние величины ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Известно, что модули всех корней уравнений  x² + Ax + B = 0,  x² + Cx + D = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения
x² + ½ (A + C)x + ½ (B + D)x = 0  также меньше единицы. A, B, C, D – действительные числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78023  (#5)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .