ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную 1. Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее $ {\frac{1}{9}}$.

   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78198  (#1)

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78200  (#2)

Тема:   [ Центр масс ]
Сложность: 3
Классы: 11

Пусть ABCD — пространственный четырёхугольник, точки K1 и K2 делят соответственно стороны AB и DC в отношении $ \alpha$, точки K3 и K4 делят соответственно стороны BC и AD в отношении $ \beta$. Доказать, что отрезки K1K2 и K3K4 пересекаются.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78201  (#3)

Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Покрытия ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную 1. Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее $ {\frac{1}{9}}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78202  (#4)

Темы:   [ Комплексные числа в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78203  (#5)

Темы:   [ Концентрические окружности ]
[ Поворот (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Два концентрических круга поделены на 2k равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .