Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]

Задача 78256

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Раскраски	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в одной точке. Каждая из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с одной стороны отрезка проведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы один из многоугольников, на которые разбит диагоналями исходный многоугольник, весь покрашен снаружи.

Прислать комментарий Решение

Задача 78247

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Два отрезка натурального ряда из 1961 числа подписаны один под другим. Доказать, что каждый из них можно так переставить, что если сложить числа, стоящие одно под другим, получится снова отрезок натурального ряда.

Прислать комментарий Решение

Задача 78257

Тема:

[

Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В квадрате ABCD на стороне AB взята точка P, на стороне BC — точка Q, на стороне CD — точка R, на стороне DA — S; оказалось, что фигура PQRS — прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник PQRS — либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны диагоналям квадрата.

Прислать комментарий Решение

Задача 78259

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дана таблица 4×4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше, чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78269

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел

a₁...	a_n	...
b₁...	b_n	...
c₁...	c_n	...

найдутся такие номера p и q, что

a_p $\displaystyle \ge$ a_q, b_p $\displaystyle \ge$ b_q, c_p $\displaystyle \ge$ c_q.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]