ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Через противоположные вершины A и C четырёхугольника ABCD проведена окружность, пересекающая стороны AB, BC, CD и AD соответственно в точках M, N, P и Q. Известно, что BM = BN = DP = DQ = R , где R — радиус данной окружности. Доказать, что в таком случае сумма углов B и D данного четырёхугольника равна 120o.

   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      



Задача 78531

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Через противоположные вершины A и C четырёхугольника ABCD проведена окружность, пересекающая стороны AB, BC, CD и AD соответственно в точках M, N, P и Q. Известно, что BM = BN = DP = DQ = R , где R — радиус данной окружности. Доказать, что в таком случае сумма углов B и D данного четырёхугольника равна 120o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78542

Темы:   [ Центр масс ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78546

Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Площадь треугольника (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78539

Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78543

Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .