ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78541  (#1)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Задачи на смеси и концентрации ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

В n мензурок налиты n разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно 1/n от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 78542  (#2)

Темы:   [ Центр масс ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78543  (#3)

Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).
Прислать комментарий     Решение


Задача 78538  (#4)

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Доказать, что любое чётное число 2n$ \ge$ 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)2 + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78544  (#5)

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Функция Эйлера ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .