Версия для печати
Убрать все задачи

---

В трапеции ABCD на боковой стороне AB дана точка K. Через точку A провели прямую l, параллельную прямой KC, а через точку B – прямую m, параллельную прямой KD. Докажите, что точка пересечения прямых l и m лежит на стороне CD.

   Решение

---

а) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, что из двух чисел  ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a  и  ^b/_a + ^c/_b + ^a/_c  ровно одно – целое?

б) Докажите, что если они оба целые, то  a = b = c.

   Решение

---

Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и  100 – N  точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98035  (#1)

Темы:   [ Площадь сечения ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98036  (#2)

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., n},  не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (n + 1)! – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98037  (#3)

Темы:   [ Площади криволинейных фигур ] [ Вычисление площадей ] [ Вычисление производной ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Внутри круга радиуса R взята точка A. Через неё проведены две перпендикулярные прямые. Потом прямые повернули на угол φ относительно точки A. Хорды, высекаемые окружностью из этих прямых, замели при повороте фигуру, имеющую форму креста с центром в точке A. Найдите площадь креста.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98038  (#4)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Ряды с неотрицательными членами ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  d₁, d₂, d₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_d1 + ¹/_d2 + ... + ¹/_dk   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
  а) общее число прогрессий конечно;
  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98039  (#5)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Барицентрические координаты ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и  100 – N  точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями