Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 225]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30292

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3- Классы: 6,7

Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

Решение

Предположим, что нам это удалось. Теперь пятерка встречается 7 раз. Внутри цепочки она встречается чётное число раз. Значит, на одном из концов – пятерка. Аналогично можно доказать, что на концах находятся и все остальные "знаки" домино. Но знаков шесть, а концов всего два. Противоречие.

Прислать комментарий

---

Задача 32780

Тема:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

В строчку написано 37 чисел так, что сумма каждых шести подряд идущих чисел равна 29. Первое число 5. Каким может быть последнее число?

Решение

Сумма 36 первых чисел равна 6·29, сумма последних 36 чисел – тоже. Значит, последнее число равно первому.

Ответ

5.

Прислать комментарий

---

Задача 32799

Тема:   [ Задачи на движение ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

После того, как Клайв собрал и завел свои часы (см. задачу 32798), поставив их по дедушкиным, они стали идти в обратную сторону. Сколько раз в сутки они покажут правильное время?

Решение

Первый раз часовые стрелки на часах Клайва и на правильных часах "совпадут" в момент установки "правильного" времени. В следующий раз это произойдет через 6 часов после установки, когда каждая из них сделает по полоборота. Разумеется, тогда совпадут и минутные стрелки. И так далее.

Ответ

4 раза.

Прислать комментарий

---

Задача 32808

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Докажите, что в игре в "крестики-нолики" на поле 3*3 при правильной игре первого игрока второй игрок выиграть не сможет.

Решение

Пусть первый игрок первым ходом ставит крестик в центр поля. У второго игрока есть две различные возможности: поставить нолик в угол или в середину боковой стороны. Как несложно проверить перебором, в каждом из этих случаев первый игрок может не допустить победы второго.

Прислать комментарий

---

Задача 32821

Тема:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Фальшивомонетчик Вася стал выпускать золотые слитки. Сделав пять таких слитков, он замерил вес каждой пары. Получились величины в 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120 и 121 унцию. Сколько весит каждый брусок?

Решение

Заметим, что веса любых двух слитков различны, поскольку все приведенные суммы различны. Обозначим веса слитков через x₁, x₂, x₃, x₄ и x₅, причем x₁<x₂<x₃<x₄<x₅.
Сумма весов слитков равна сумме приведенных чисел, деленной на 4, т.е. 1156/4=289 унций. Поскольку мы упорядочили слитки, то, очевидно, выполняются равенства:
x₁+x₂=110,
x₁+x₃=112,
x₃+x₅=120,
x₄+x₅=121.
Складывая первое и последнее равенство, получим x₁+x₂+x₄+x₅=231, следовательно, x₃=289-231=58 унций. Теперь последовательно находим x₁=112-58=54, x₂=110-54=56, x₅=120-58=62, x₄=121-62=59 унций.

Ответ

54, 56, 58, 59 и 62 унции.

Прислать комментарий

---

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 225]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями