Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 819]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64919

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64966

Темы:   [ Средняя линия трапеции ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64979

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC  AA₀ и BB₀ – медианы, AA₁ и BB₁ – высоты. Описанные окружности треугольников CA₀B₀ и CA₁B₁ вторично пересекаются в точке M_c. Аналогично определяются точки M_a, M_b. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c лежат на одной прямой, а прямые AM_a, BM_b, CM_c параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64986

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Центральная симметрия (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65003

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Средняя линия трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠C = 90°)  биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке I. Пусть O – центр описанной окружности треугольника CA₁B₁. Докажите, что  OI ⊥ AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 819]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями