Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116652  (#11.7)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа  a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что  P(a) = P(b) = P(c).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116637  (#9.8)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Шахматная раскраска ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

В некоторых клетках доски 100×100 стоит по фишке. Назовём клетку красивой, если в соседних с ней по стороне клетках стоит чётное число фишек.
Может ли ровно одна клетка доски быть красивой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116645  (#10.8)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Степень вершины ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите, что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116653  (#11.8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Пусть N – середина дуги BAC его описанной окружности, а M – середина стороны BC. Обозначим через I₁ и I₂ центры вписанных окружностей треугольников ABM и ACM соответственно. Докажите, что точки I₁, I₂, A, N лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями