Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]

Задача 67354 (#21 [10-11 кл])

Тема:

[

Проективная геометрия (прочее)

]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Хорда $PQ$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, пересекает стороны $BC$, $AC$ в точках $A'$, $B'$ соответственно. Касательные к окружности в точках $A$ и $B$ пересекаются в точке $X$, а касательные в точках $P$ и $Q$ – в точке $Y$. Прямая $XY$ пересекает $AB$ в точке $C'$. Докажите, что прямые $AA'$, $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67355 (#22 [10-11 кл])

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Reznik D., Акопян А.В.

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67356 (#23 [10-11 кл])

Тема:

[

Инверсия помогает решить задачу

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кухарчук И.

По окружности $\Omega$ движется точка $P$. На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$. Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.

Прислать комментарий Решение

Задача 67357 (#24 [11 кл])

Темы:	[	Прямоугольный тетраэдр	]
	[	Теорема Пифагора в пространстве	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Tran Quang Hung, Dergiados N.

В пирамиде $SABC$ все углы при вершине $S$ прямые. Точки $A'$, $B'$, $C'$ на ребрах $SA$, $SB$, $SC$ соответственно таковы, что треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны. Верно ли, что плоскости $ABC$ и $A'B'C'$ параллельны?

Прислать комментарий Решение

Задача 67358 (#8.1)

Тема:

[

Вписанные четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Даны окружность $\omega$ с центром $O$ и точка $P$ внутри нее. Пусть $X$ – произвольная точка $\omega$, прямая $XP$ и окружность $XOP$ пересекают $\omega$ во второй раз в точках $X_1$, $X_2$ соответственно. Докажите, что все прямые $X_1X_2$ параллельны друг другу.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]