Страница:
<< 68 69 70 71
72 73 74 >> [Всего задач: 366]
Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое
число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты
можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму
в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.
100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть
равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что
равновесие не нарушится.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.
б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно
разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Рассмотрим множество M целых чисел, представимых в виде ax + by, где x и y – целые неотрицательные числа.
а) Каково наибольшее целое число c, не принадлежащее множеству М?
б) Докажите, что из двух чисел n и с – n (где n – любое целое) одно принадлежит М, а другое нет.
Страница:
<< 68 69 70 71
72 73 74 >> [Всего задач: 366]
Фильтр
