Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 239]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 52903

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC.
Докажите, что соотношение  AK² = AB·AC – KB·KC  выполнено тогда и только тогда, когда  AB = AC  или  ∠BAK = ∠CAK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65706

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к описанной окружности Ω треугольника ABC пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к описанной окружности Γ треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108665

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD равны. Кроме того,  ∠BAC = ∠ADB,  ∠CAD + ∠ADC = ∠ABD.  Найдите угол BAD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108154

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Треугольник ABC вписан в окружность S. Пусть A₀ – середина дуги BC окружности S, не содержащей точку A, C₀ – середина дуги окружности S, не содержащей точку C. Окружность S₁ с центром A₀ касается BC, окружность S₂ с центром C₀ касается AB. Докажите, что центр I вписанной в треугольник ABC окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108108

Темы:   [ Признаки и свойства касательной ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Концентрические окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, S_A, S_B, S_C – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к S_A, проведёнными из точки A, к S_B – из точки B, и к S_C – из точки C, равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 239]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями