Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ лежит выпуклый четырёхугольник A₅A₆A₇A₈. Внутри A₅A₆A₇A₈ выбрана точка A₉. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что можно выбрать из них 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD вписанный, M – точка пересечения прямых AB и CD, N – точка пересечения прямых BC и AD. Известно, что  BM = DN.
Докажите, что  CM = CN.

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 368]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111817

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Теория графов (прочее) ] [ Правило произведения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115408

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Последовательности (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65876

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

а) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможно два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?
б) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116007

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из n человек, команда математических – из m, причём  n ≠ m.  Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116648

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 368]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями