Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 413]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10
|
Числа x, y, z удовлетворяют равенству x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что
3n–1 – 2n–1 кратно n.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
По окружности выписаны n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0,
x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0, x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.
|
|
|
Сложность: 2
Классы: 10,11
|
Вычислите функции gk,l(x) при 0 ≤ k + l ≤ 4 и покажите, что все они являются многочленами.
Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.
Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 413]
Фильтр
