Каталог по темам

Задачи

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 201]

Задача 116706

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 5-
Классы: 11

Автор: Ушаков В. Г.

Обозначим через S(n, k) количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена (x + 1)ⁿ по степеням x.
а) Найдите S(2012, 3).
б) Докажите, что S(2012²⁰¹¹, 2011) делится на 2012.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60754

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Докажите, что для простого числа p вида 4k + 1 числа x = ± (2k)! являются решениями сравнения x² + 1 ≡ 0 (mod p).

Прислать комментарий

Решение

Задача 103769

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3-
Классы: 7

Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа x и y, что
а) x² – y² = 1993;
б) x³ – y³ = 1993;
в) x⁴ – y⁴ = 1993?

Прислать комментарий

Решение

Задача 104082

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3-
Классы: 6,7,8

В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на обеих диагоналях равны.
Можно ли составить магический квадрат 3×3 из первых девяти простых чисел?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116600

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно n побед, а каждая команда второй группы – ровно m побед. Могло ли оказаться, что m ≠ n?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 201]