Из имеющихся последовательностей {b_n} и {c_n} (возможно, {b_n} совпадает с {c_n})  разрешается получать последовательности  {b_n + c_n},
{b_n – c_n},  {b_nc_n}  и  {^b_n/_cn}  (если все члены последовательности {c_n} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {a_n}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
  а)  a_n = n²;

  б)  

  в)  

   Решение

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 694]      

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит n пар носков. Двух одинаковых пар нет. Носки висят за сохнущей простыней, поэтому Рассеянный Учёный достает по одному носку на ощупь и сравнивает каждый новый носок со всеми предыдущими. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых к моменту, когда у Учёного окажется какая-нибудь пара.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны две точки A и B. Пусть C – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек
C₁ = C, C₂, C₃, ...,  где C_n+1 – центр описанной окружности треугольника ABC_n. При каком положении точки C
  а) точка C_n попадёт в середину отрезка AB (при этом C_n+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)?
  б) точка C_n совпадает с C?

Прислать комментарий

Решение

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий

Решение

Из имеющихся последовательностей {b_n} и {c_n} (возможно, {b_n} совпадает с {c_n})  разрешается получать последовательности  {b_n + c_n},
{b_n – c_n},  {b_nc_n}  и  {^b_n/_cn}  (если все члены последовательности {c_n} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {a_n}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
  а)  a_n = n²;

  б)  

  в)  

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого натурального числа a₁ > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, a₃, ...,
что      делится на  a₁ + a₂ + ... + a_k  при всех  k ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 694]