Каталог по темам

Задачи

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 411]

Задача 73780

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Симметрия относительно плоскости	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек M_i и M_j, где i и j — любые числа от 1 до N.

Можно ли провести построение, если расстояния r_ij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?

Прислать комментарий Решение

Задача 32884

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7

Доказать, что если несократимая рациональная дробь ^p/_q является корнем многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то P(x) = (qx – p)Q(x), где многочлен Q(x) также имеет целые коэффициенты.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61394

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Число e	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите неравенства:
а)

б) при n > 1;

в) при n > 6.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65124

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Раскраски	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Дано натуральное число n ≥ 2. Рассмотрим все такие покраски клеток доски n×n в k цветов, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет и все k цветов встречаются. При каком наименьшем k в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 105118

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Параллельный перенос	]
	[	Движение помогает решить задачу	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 411]