Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

   Решение

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 372]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108157

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108182

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Вокруг треугольника ABC описана окружность, к ней через точки A и B проведены касательные, которые пересекаются в точке M. Точка N лежит на стороне BC, причём прямая MN параллельна стороне AC. Докажите, что  AN = NC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108247

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан параллелограмм ABCD с углом A, равным 60°. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABD. Прямая AO пересекает биссектрису внешнего угла C в точке K. Найдите отношение  AO : OK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108145

Темы:   [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника ABC. Окружность ω₁ с центром K проходит через точки A, O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что  BL ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108223

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Средняя линия трапеции ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 372]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями