Каталог по темам

Задачи

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 372]

Задача 108034

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята такая точка M, что ∠BMC = 90° + ½ ∠BAC и прямая AM содержит центр O описанной окружности треугольника BMC. Докажите, что точка M – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108211

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка M, а внутри треугольника AMD точка N, причём ∠MNA + ∠ MCB = ∠MND + ∠MBC = 180°.
Докажите, что прямые MN и AB параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108643

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠A + ∠D = 120° и AB = BC = CD.
Докажите, что точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин A и D.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108649

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В выпуклом пятиугольнике ABCDE AB = BC, ∠ABE + ∠DBC = ∠EBD и ∠AEB + ∠BDC = 180°.
Докажите, что ортоцентр треугольника BDE лежит на диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109647

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Композиции поворотов	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Терешин Д.А.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 372]