Каталог по темам

Задачи

Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 366]

Задача 110046

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Садыков Р., Черепанов Е.

Клетки таблицы 200×200 окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных клеток на 404 больше, чем белых.
Докажите, что найдётся квадрат 2×2, в котором число белых клеток нечётно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73658

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бешкарев В.П.

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109733

Темы:	[	Доказательство от противного	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Системы линейных уравнений	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Токарев С.И.

Участникам тестовой олимпиады было предложено n вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое положительное количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определить сложность вопросов, чтобы места между участниками распределились любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73620

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Васерштейн Л.Н.

Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма не равна нулю. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60489

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение ax + by = c имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на d = НОД(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 366]