Каталог по темам

Задачи

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 [Всего задач: 404]

Задача 52829

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC ∠B = 120°. Найдите общую хорду описанной окружности треугольника ABC и окружности, проходящей через центр вписанной окружности и основания биссектрис углов A и C, если AC = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78546

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Площадь треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110129

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть A₀ – середина стороны BC треугольника ABC, а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в A₀ и проходящую через A'. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116913

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Момент инерции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Карлюченко А.

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что MI = ^r/₃ тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 [Всего задач: 404]