Страница:
<< 14 15 16 17 18
19 20 >> [Всего задач: 98]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Докажите, что для всех
x
(0
;
)
при
n>m , где
n,m – натуральные, справедливо неравенство
2| sinn x- cosn x|
3| sinm x- cosm x|;
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 9,10,11
|
Пусть
l1,
l2, ...,
ln — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке
X1,
X2, ...,
Xn так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой
lk в точке
Xk (для любого натурального
k < n), проходил через точку
Xk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямой
ln в
точке Xn, проходил через
точку X1.
Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений (x – a)(x – b) = x – c, (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b имеют решение.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Пусть многочлен P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a0 имеет хотя бы один действительный корень и a0 ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a0 так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.
Страница:
<< 14 15 16 17 18
19 20 >> [Всего задач: 98]
Фильтр
Решение 
